horirium

エッシャー先生の『上昇と下降（Ascending and Descending）』の段数を数えてみると15段か16段になるようです。わざとかどうかは分かりませんが、少し見えにくくなっています。

前々回、「その1」でこの無限階段はアイソメ上で簡単に描けると言いましたが…どのような条件でも成立するという訳ではありません。条件としては、60°、120°の同一のひし形を階段のフットプリントとして水平に並べ、垂直方向での段差の高さが等しいということですが…






そのような条件で並べても上記の通り階段が一致せず成立しない場合もあります。

アイソメ上で「ペンローズの（無限）階段」がどのような条件で成立するかは簡単な計算で求めることができます。
この問題は高校や大学で図法やデザインを学ぶ学生さんにとってはとてもよい課題なので宿題としておきましょう( ´∀｀ )


課題：アイソメトリック図上で「ペンローズの階段」成立する条件とは？


どころで、自分がこの錯視に興味を持った理由は、「そもそもこの階段が成立する最小段数はいくつだろう？」と思ったのが始まりです。

「その1」では12段の図を載せました。

さらに減らして8段でも成立！




実はこの厳密な条件下では6段が最低の段数であることが分かっています。





もちろん、その1で書いたように階段の真ん中に穴が開いているのかどうか微妙なところがありますが。

さて、ここで少し条件をゆるめてみましょう。階段のフットプリントの形状を同一でなくてもよいとします。昇降方向に対し、幅さえ一定であれば階段の長さは問わないようにしてみます。すると、この6段の無限階段から…


5段




4段




3段！




どうでしょうか？無限階段になっていて、アイソメ上、矛盾はありませんよね？

しかし、少なくなればなるほど、真ん中の壁が穴になっているのかどうか気になりますね。そこでその解決策を考えました。
気になる部分を見えなくすればよいのです。





真ん中に柱を立てるか穴を開けてしまうかです。ただ、柱は見せたい部分が見えにくくもなるので、穴の方が適していますね。

この手法で3段を描きなおすと、





完璧！実際に存在できそうなぐらい矛盾がありません。


まだ終わりません。この勢いで…




なんと2段の無限階段も描写可能！
しかも形状としては8個もバリエーションができます。





さらに穴を開けると、同一形状になるものが出るので数は減るのですが、非常にエレガントな形状になりました。
アイソメ上で段差と幅が同じで無限階段になっています。
つまり最低2段あれば無限階段が成立する訳で…



いやいや、


まさか、





1段…！

条件は満たしています。

面白いことに時計回りで昇る場合、段差が右側に来ると成立しないのです。描いてみてください。

で、穴を設定すると、






これぞ究極！1段で無限階段。

さて、前回の単独の無限階段要素を同じ方向に繋いでいくと…






向きによっていくつかの繋ぎ方ができます。






部分的に階段が抜けているのは、「無限に昇る」ということを原則としたからです。昇り続ける階段の横道が下がる要素になる場合があり、そこを削りました。また、今回は投影法的に矛盾が出ないように底辺の部分を加工しました。

このパーツをまた繋ぎ合わせることができます。














たった一つのパーツから随分といろいろな造形ができます。昇っても昇っても切りがないようです…。次回は降りていく？方向で
(;'∀')

この6日から上野の森美術館で「ミラクルエッシャー展」が開催されています。


どの作品も実際に見るのが楽しみなのですが、今日は『上昇と下降（Ascending and Descending）』　を取り上げてみます。
（サムネイルはクリックで拡大）




引用：https://www.wikiart.org/en/m-c-escher


どこかの僧院でしょうか？無限に続く階段を僧侶らしき行列が昇り続け、あるいは降り続けています。


これはいわゆる「ペンローズの階段」という不可能図形を元にしたもので、3次元を2次元で描写する際に生じる矛盾を利用したものですね。





一見難しいようですが、





実はこのように、アイソメトリック図といわれる等角投影法のグラフ上で簡単に描くことができます。

ただし、階段の段数などでいろいろ不具合が生じることも…





このように1辺に2段のところを設定すると真ん中に穴があいているのかいないのか非常にあやふやになってしまいます。
このことは実に重要な問題を含んでいるのですが、それはまた後ほど。


さて、面白いのはここからです。この図形を反転したりしながら繋げると…





まさに無限マーク（∞）の階段ができました。


このパーツはレゴのように縦横斜めに繋いでいくことができます。





どこまで登っても延々と続く階段、厳しいですね。





なかなか綺麗です。





どんどん繋げることができます。





基本形状を変則的に繋ぐとまた違ったものになります。





これを並べたら…ちょっと切りがないので見送りますが。

さてさて、実は最初のエッシャー先生の絵はこれよりもっと複雑な手法で作られているのですが…次回、もう少し、この単純なレゴ並べで遊んでみたいと思います。

履き易くてお気に入りのスニーカーが壊れたので修理。色も気に入っているのですが、もうこのモデルは販売されていません。




左右共に接着剤が劣化してはがれてきました。

洗って乾かした後、今回は「ボンドGクリヤー」を使用。本当は皮革用のゴム糊が強いのですが、はみだしを考えると黄色いものは厳しいですね。（実際、ボンドGクリヤーも糸引きが強くてやっかいでした。）




はがれた部分を貼り合わせた後、ソールの擦り減ったところも補修。




今回はセメダインの「シューズドクターN」を使ってみます。



空気中の水分により硬化します。23℃、湿度50％、肉盛り厚2㎜で約24時間とのこと。




今回は付属のポリ板を使わず直接ガムテープで土手を作りました。
補修剤の粘度が非常に高く、ヘラを使って平にするのがけっこう大変でした。ヘラをできるだけ寝かせて使うのがコツ。補修剤は開封すると硬化が始まるので、一度にたくさんの靴を修理した方が良いようです。（瞬間接着剤と同じですかね。）

今回、一度に4足修理しましたが、だいたい2足ぐらい補修したところでコツが飲み込めてきました。




硬化した後ではがしてみると…
少し隙間が。粘度が高いので充填しにくいのです。さらに追加で隙間を埋め、乾燥させて終了しました。靴底だけあって、カチンカチンではなく硬質のゴムのような感じです。

さて、あとはどれくらい保つかということですね。

昨年、ご縁があって、文具メーカーのあたぼうさん、文具ライターの小日向さんとともに、館林の老舗文具店さん「三田三昭堂」の飾り原稿用紙『躑躅鑑』をデザイン致しました。


その経緯はあたぼうさんのHPに詳しく掲載されていますが、（三田三昭堂オリジナル飾り原稿用紙　「躑躅鑑」の誕生秘話）丁度、ツツジの季節となりましたので、こちらでも「宣伝」をさせていただきたいと思います(;^_^A


館林は東京からも小一時間で着く美しい街です。そして何といってもツツジで有名な街なのです。



館林駅前のツツジ　大きさが分かるでしょうか？


丁度この時期、ツツジ祭りの真っ最中です。（４月１０日（火曜日）～５月１０日（木曜日））広大な公園に色とりどりのツツジが咲き乱れます。

館林市つつじが岡公園ガイド

恥ずかしながら自分はそれまで館林のツツジを知りませんでした。ツツジは道路脇の植え込みでよく目にしますが、そういう低木のイメージしかなかったのです。ところが館林のヤマツツジと来たら…


様々な色合いのツツジが咲くつつじが岡公園




このツツジは高さ3ｍほど！




あちらこちらに人がくぐり抜けできるツツジのトンネルがあります。





紫に近い赤から朱色の赤まで、いろいろな諧調のツツジが咲き乱れます。ツツジは数百年かかって大きく育つそうで、400年の長きに渡り、館林の歴代城主はじめ地元の方々が愛し保護育成してきた賜物ということです。また、かと思えば、館林出身で、アジア初の女性宇宙飛行士、向井千秋さんが宇宙に持って行った種子から育った「宇宙ツツジ」のコーナーもあります。

とにかく、初めての方は、圧倒的というしかないツツジを目の当たりにして、赤と葉っぱの緑のコントラストで、ツツジ酔いする覚悟も必要です（笑）




当初、あまりの色のインパクトに原稿用紙も赤と緑の2色刷りでデザインしたのですが…
さすがにこれでは、文字を書くじゃまになるでしょうということでボツになりました(;^_^A






さて、館林といえば、飾り原稿用紙「躑躅鑑」にもそのモチーフを使わせていただいた有名な寺社があります。

一つは「尾曳神社」。館林城の別名、「尾曳（おびき）城」のもとになった神社です。


（これは今年のお正月に撮ったもの）



裏道にもたくさんの祠があり、お稲荷さんの像がたくさんあります。




今の時期が新緑に映え、もっとも美しいのではないでしょうか。


もうひとつ、有名な名刹が「茂林寺」です。



誰もが知っている「ブンブク茶釜」の物語のもとになったお寺です。




もちろん境内は狸だらけ。
そして拝観料は必要ですが、その伝説の「分福茶釜」も見ることができます。

街にもあちこちに狸の焼き物が。






公園かと見紛う美しい館林市役所にも…







尾曳神社の狐とならび、いかに愛されているか分かりますね。


さて、最後になりましたが、「三田三昭堂」さんもお近くなので文具好きの方はぜひお立ち寄りください。

特に「あなたブランド」のお店はオシャレで、オリジナルの万年筆やインクなど、素晴らしい品物がたくさんあります。




あなたブランド

三田三昭堂　あなたブランド