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『上昇と下降(Ascending and Descending)』 エッシャー展によせて その3

エッシャー先生の『上昇と下降(Ascending and Descending)』の段数を数えてみると15段か16段になるようです。わざとかどうかは分かりませんが、少し見えにくくなっています。

前々回、「その1」でこの無限階段はアイソメ上で簡単に描けると言いましたが…どのような条件でも成立するという訳ではありません。条件としては、60°、120°の同一のひし形を階段のフットプリントとして水平に並べ、垂直方向での段差の高さが等しいということですが…



180611a.png


そのような条件で並べても上記の通り階段が一致せず成立しない場合もあります。

アイソメ上で「ペンローズの(無限)階段」がどのような条件で成立するかは簡単な計算で求めることができます。
この問題は高校や大学で図法やデザインを学ぶ学生さんにとってはとてもよい課題なので宿題としておきましょう( ´∀` )


課題:アイソメトリック図上で「ペンローズの階段」成立する条件とは?


どころで、自分がこの錯視に興味を持った理由は、「そもそもこの階段が成立する最小段数はいくつだろう?」と思ったのが始まりです。

「その1」では12段の図を載せました。

さらに減らして8段でも成立!

180612a.png


実はこの厳密な条件下では6段が最低の段数であることが分かっています。


180611b.png


もちろん、その1で書いたように階段の真ん中に穴が開いているのかどうか微妙なところがありますが。

さて、ここで少し条件をゆるめてみましょう。階段のフットプリントの形状を同一でなくてもよいとします。昇降方向に対し、幅さえ一定であれば階段の長さは問わないようにしてみます。すると、この6段の無限階段から…


5段

180612b.png


4段

180612c.png


3段!

180612d.png


どうでしょうか?無限階段になっていて、アイソメ上、矛盾はありませんよね?

しかし、少なくなればなるほど、真ん中の壁が穴になっているのかどうか気になりますね。そこでその解決策を考えました。
気になる部分を見えなくすればよいのです。


180612e.png


真ん中に柱を立てるか穴を開けてしまうかです。ただ、柱は見せたい部分が見えにくくもなるので、穴の方が適していますね。

この手法で3段を描きなおすと、


180612f.png


完璧!実際に存在できそうなぐらい矛盾がありません。


まだ終わりません。この勢いで…


180612g.png

なんと2段の無限階段も描写可能!
しかも形状としては8個もバリエーションができます。


180612h.png


さらに穴を開けると、同一形状になるものが出るので数は減るのですが、非常にエレガントな形状になりました。
アイソメ上で段差と幅が同じで無限階段になっています。
つまり最低2段あれば無限階段が成立する訳で…



いやいや、


まさか、


180612i.png


1段…!

条件は満たしています。

面白いことに時計回りで昇る場合、段差が右側に来ると成立しないのです。描いてみてください。

で、穴を設定すると、



180612k.png


これぞ究極!1段で無限階段。

























『上昇と下降(Ascending and Descending)』 エッシャー展によせて その2

さて、前回の単独の無限階段要素を同じ方向に繋いでいくと…


180609a2.png



向きによっていくつかの繋ぎ方ができます。


180609b2.png



部分的に階段が抜けているのは、「無限に昇る」ということを原則としたからです。昇り続ける階段の横道が下がる要素になる場合があり、そこを削りました。また、今回は投影法的に矛盾が出ないように底辺の部分を加工しました。

このパーツをまた繋ぎ合わせることができます。


180609c2.png



180609d2.png



180609e2.png



たった一つのパーツから随分といろいろな造形ができます。昇っても昇っても切りがないようです…。次回は降りていく?方向で
(;'∀')


偶然の錯視

ある所の待合室で、テーブルの下の棚に荷物を入れようとしたら

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なぜか入らない。あれ?とよく見てみると…




130508b.jpg

フラッシュを焚いた写真。

壁になっていて、隙間なんて無い!


微妙な照明の加減と、長テーブルの下は荷物置きスペースになっているという思いこみから、リアルに錯視してしまいました。




奥行きのある紙 3D Perspective Diagram

以前、ネットのあちこちで「3D drawing pad」なるメモ帳が紹介されていました。


110627a01.jpg


私は雑貨屋で見て知っていたのですが、何だか分かりますか?

実はこの用紙の上に絵を描いて、赤青眼鏡で見ると、描いた絵が浮かび上がるというもの…。

もちろん、上の写真のようにはみ出して飛び出すなどというのは誇大広告です(笑)。というか、絵は全く飛び出しません。バックグラウンドの模様が少し凹んで見えるので、絵が浮かんだように見えるというわけです。すばらしい逆転の発想です。

現在、方眼タイプとドットタイプの2種類が発売されていて、なぜか微妙に眼鏡の色が違います…。


【3D drawing pad-3Dドローイングパッド】(楽天)


これを見たときに、すぐにここをこうしたらどうだろう?と思い至りました。

試作したところ、自分でいうのも何ですが、本家をしのぐ(かもしれない)出来となりました(笑)
名付けて「3D Perspective Diagram」です。(いや、まだ改良の余地ありなんですけど…)


1.ホームページかこのページ(下記ウインドウの右上四角アイコンをクリック)からPDFファイルをダウンロードしてください。









110627a.jpg


残念ながらこの用紙だけではなんのこっちゃら、です。赤青のセロファンを貼った立体視用のメガネが必要です。お持ちでない方は百均かどこかでセロファンを入手して作ってください。手間をかけるだけのおもしろさは保証します!

ただし、プリンターの色と、セロファンの色によってはうまく見えない場合もあります。赤のセロファンで赤の線が、青のセロファンで青の線が消えてできるだけ見えなくなるような組み合わせにしなければなりません。市販のメガネの中には緑色のセロファンのものもあるのでご注意ください。

左側に赤のセロファンが来るようにして、50cm以上離して見てください。


さて、次にこの紙に絵を描いて、メガネをかけて見てください。


110627b.jpg
(エッシャーの「Other World」を想起したのでエッシャーのキャラを描いてみました…)



どうでしょうか?

斜めに見てみたらどうなるか、逆さまにしたらどう見えるのか、遊んでいただければ幸いです。


※110710 補足再掲
私自身、いくつかセロファンを用意して赤青メガネの自作を試みたのですが、百均などのセロファンでは今ひとつ効果が弱いです。何か良い方法がないか引き続き検討していますが、確実なのはAmazonなどで赤青メガネを購入してしまうことです。Amazonの場合はマーケットプレイスものが多いので、送料がバカにならないのが難点ですが…








オリジナル名刺4 錯視名刺


これは錯視というより形や折った雰囲気が楽しい名刺なのですが…

110415c.jpg



こうなります。

110415d.jpg



一方向から見ると

110415f.jpg



反対側は

110415e.jpg


これのどこが錯視かって?いやいや、これはもちろん、錯視ではありません。これは「騙し絵」などの類ですね。


錯視のオマケは裏側。

110415g.jpg

グレーの市松模様のついた矢羽根柄。


こんな感じなのですが…

110415h.jpg



逆さまにすると…

110415i.jpg


あら、不思議(笑) 
全面グレー一色になってしまいます??




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